任何一元四次方程都可化简为 $$ax^4+bx^3+cx^2+dx+f=0(a,b,c,d,f \in \mathbb R,$$ 且 $$a \ne 0)$$ 的形式。由于 $$e$$ 与自然对数的底数冲突，所以本篇文章仅在使用自然对数的底数时使用 $$e$$。当 $$f=0$$ 时，$$ax^4+bx^3+cx^2+dx=0(a,b,c,d \in \mathbb R,$$ 且 $$a \ne 0)$$ 可以容易地进行因式分解降次。所以此文仅推导 $$ax^4+bx^3+cx^2+dx+f=0(a,b,c,d,f \in \mathbb R,$$ 且 $$a,f \ne 0)$$ 的解法。

$$\Large{b,c,d=0}$$

推导过程：

\begin{aligned}
ax^4+bx^3+cx^2+d+f&=0\\
ax^4&=-f\\
x^4&=-\frac{f}{a}\\
x&=i^k\sqrt[4]{-\frac{f}{a}},k \in \{0,1,2,3\}
\end{aligned}

得出公式：

\begin{aligned}
x_1&=\sqrt[4]{-\frac{d}{a}}\\
x_2&=i\sqrt[4]{-\frac{d}{a}}\\
x_3&=-\sqrt[4]{-\frac{d}{a}}\\
x_4&=-i\sqrt[4]{-\frac{d}{a}}
\end{aligned}

$$\Large{b,d=0,c \ne 0}$$

推导过程：

\begin{aligned}
ax^4+bx^3+cx^2+dx+f&=0\\
x^4+\frac{c}{a}x^2+\frac{f}{a}&=0
\end{aligned}

由一元二次方程求根公式得

\begin{aligned}
x^2&=-\frac{c}{a}\div2\pm\sqrt{(\frac{c}{a})^2-\frac{4f}{a}}\div2\\
x^2&=-\frac{c}{2a}\pm\sqrt{(\frac{c}{2a})^2-\frac{f}{a}}\\
x&=(-1)^{\lfloor\frac{k}{2}\rfloor}\sqrt{-\frac{c}{2a}+(-1)^k\sqrt{(\frac{c}{2a})^2-\frac{f}{a}}},k \in \{0,1,2,3\}
\end{aligned}

得出公式：

\begin{aligned}
x_1&=\sqrt{-\frac{c}{2a}+\sqrt{(\frac{c}{2a})^2-\frac{f}{a}}}\\
x_2&=\sqrt{-\frac{c}{2a}-\sqrt{(\frac{c}{2a})^2-\frac{f}{a}}}\\
x_3&=-\sqrt{-\frac{c}{2a}+\sqrt{(\frac{c}{2a})^2-\frac{f}{a}}}\\
x_4&=-\sqrt{-\frac{c}{2a}-\sqrt{(\frac{c}{2a})^2-\frac{f}{a}}}
\end{aligned}